Необходимость решения широкого класса задач аэро– и гидродинамики привело к появлению различных физико-математических моделей, описывающих с достаточной точностью исследуемые явления. Наиболее полными из них являются модели, описываемые уравнениями Навье – Стокса вязкого сжимаемого теплопроводного газа. При различных предположениях о характере решения из полных уравнений Навье – Стокса могут быть получены различные упрощенные модели, описываемые, например, уравнениями Эйлера, пограничного слоя, приближенными параболическими моделями и т. д. Поэтому очень важным является изучение свойств и разработка эффективных численных алгоритмов именно для полных накрывающих уравнений. Решения уравнений Навье – Стокса характеризуется, как правило, наличием подобластей больших градиентов и других особенностей типа пограничных слоев и висячих скачков, отрывных зон и т. д., что накладывает жесткие требования на применяемые численные алгоритмы.

Необходимость решения этих задач для различных областей науки и техники потребовало разработки специальных алгоритмов, ориентированных на эти классы дифференциальных уравнений. Эти алгоритмы должны обладать необходимой точностью, иметь достаточный запас устойчивости, удовлетворять свойствам консервативности и другим требованиям. Исследования в этом направлении были начаты в Вычислительном центре Сибирского Отделения АН СССР в шестидесятые годы прошлого столетия в Отделе механики сплошных сред, который возглавил Н.Н. Яненко. Основное внимание было уделено разработке неявных разностных схем.

Переход от решения одномерных задач к многомерным потребовал пересмотра алгоритмов, которые успешно использовались для решения одномерных задач. Это было обусловлено следующими обстоятельствами. Применение явных разностных схем для решения многомерных задач, в том числе в приближении уравнений Навье-Стокса сжимаемого теплопроводного газа, оказалось неэффективным в силу жестких ограничений на шаги сетки по времени, что приводило к большим затратам ресурсов ЭВМ, быстродействие которых в 60 – ые годы прошлого столетия было недостаточным. Неявные разностные схемы безусловно устойчивы или имеют слабые ограничения на устойчивость, аппроксимируют исходные уравнения с требуемым порядком по времени и пространству. Однако они при их обобщении на многомерный случай становились неэкономичными. Поэтому в работах отечественных и зарубежных ученых Н.Н Яненко, А.А. Самарского, С.К. Годунова, Е.Г. Дьяконова, А.Н. Коновалова, J. Douglas, I.E. Gunn, D.W. Peaseman, H.H. Rachford, A.I. Oliphant и др. авторов были предложены подходы, позволяющие свести решение многомерных задач к последовательности решения их одномерных аналогов, которые впоследствии получили название метода расщепления (метода дробных шагов, метода суммарной аппроксимации) и метода факторизации.

Метод расщепления (дробных шагов) Н.Н. Яненко, предложенный им для решения многомерного уравнения теплопроводности [1] , был обобщен в работе [2] для решения уравнений газовой динамики в криволинейных координатах. В этой работе авторы впервые применили метод расщепления по пространственным направлениям для решения систем двумерных уравнений, что позволило свести решение уравнений к векторным прогонкам. Для построения экономичных алгоритмов, реализуемых скалярными прогонками, в работах [3,4] впервые были предложены неявные схемы решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого теплопроводного газа, основанные на расщеплении уравнений. В них, наряду с расщеплением исходных уравнений по пространству, введено расщепление одномерных уравнений таким образом, чтобы получающиеся системы разностных уравнений реализовывались на дробных шагах скалярными прогонками. Развитие этого подхода привело к появлению метода расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям, обоснование которого было проведено в монографии [5].

Суть метода расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям состоит в представлении исходной системы уравнений в виде расщепленных одномерных подсистем уравнений, учитывающих элементарные физические процессы: конвективный перенос, давление и вязкие члены в каждом пространственном направлении. Введение такого расщепления позволило строить различные классы разностных схем различного порядка точности, реализуемых на дробных шагах эффективными алгоритмами, например, скалярными прогонками. Такие схемы обладают свойствами полной аппроксимации, безусловно устойчивы или имеют слабые ограничения на устойчивость, что делает их экономичными по числу операций на один узел расчетной сетки. Предложенные алгоритмы могут быть применены для решения уравнений газовой динамики, полных и упрощенных уравнений Навье – Стокса сжимаемого теплопроводного газа, уравнений магнитной гидродинамики и физики плазмы. В дальнейшем метод расщепления был развит в совместных работах с Г.А. Тарнавским, С.Г. Черным, А.С. Лебедевым, А.Ю. Слюняевым и др. при решении различных классов задач аэродинамики [6]. При решении стационарных и нестационарных задач были предложены новые способы построения разностных схем, основанные на методе предиктор-корректор, когда на этапе предиктора исходные уравнения аппроксимируются в недивергентном виде, а свойства консервативности достигаются использованием корректора [7]. Это позволило повысить точность расчетов при решении стационарных и нестационарных задач.

Известно, что введение расщепления (или факторизации) операторов в исходной задаче приводит к появлению дополнительных членов в разностной схеме – диссипативных членов и членов более высокого порядка аппроксимации. Это плата за эффективность Следствием этого, как показывают численные расчеты, является ухудшению свойств численного алгоритма - замедление сходимости при получении стационарного решения методом установления или к понижению точности. Проведенный анализ схем расщепления позволил минимизировать влияние этих членов и построить класс экономичных разностных схем схем оптимального расщепления, свойства которых близки к свойству нефакторизованных неявных схем. Дальнейшее развитие этих подходов обобщено в работах [8-11].

В заключение отметим, что идеология метода расщепления, предложенная Н.Н. Яненко, послужила основой для построения новых классов экономичных численных алгоритмов при численном моделировании различных классов задач, возникающих при решении современных задач естествознания.

1. Н.Н. Яненко. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. «Наука», Сибирское отделение, 1967.

2. Н.Н. Яненко, В.Д. Фролов, В.Е. Неуважаев. О применении метода расщепления для численного расчета движений теплопроводного газа в криволинейных координатах. « Известия СО РАН СССР, серия технических наук», т.8, № 2, 1967

3. В.М. Ковеня. Численный метод расчета стационарных уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа. «Инф. бюлл. Численные методы механики сплошной среды», т. 1, №3, 1970

4. Ю.А. Березин, В.М. Ковеня, Н.Н. Яненко. Об одной неявной схеме расчета течения вязкого теплопроводного газа. Сб. «Численные методы механики сплошной среды», Новосибирск, т.3, №4, 1972.

5. В.М. Ковеня, Н.Н. Яненко. Метод расщепления в задачах газовой динамики. “Наука”, Сибирское отделение, 1981.

6. .М. Ковеня, Г.А. Тарнавский, С.Г.Черный. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск, “Наука”, 1990

7. В.М. Ковеня, В.Б. Карамышев. Метод предиктор-корректор решения задач газовой динамики. ЖВМ и МФ, т. 28, № 12, 1988.

8. В.М. Ковеня, А.С. Лебедев. Модификация метода расщепления для построения экономичных разностных схем. ЖВМ и МФ, т. 34, № 6, 1994.

9. В.М. Ковеня. Разностные методы решения многомерных задач. Курс лекций. Новосиб. гоc. ун - т, Новосибирск , 2004

10. В.М. Ковеня, А.Ю. Слюняев. Алгоритмы расщепления при решении уравнений Навье – Стокса. ЖВМ и МФ, т. 49, № 4, 2009

11. В.М. Ковеня. Численный алгоритм решения уравнений Эйлера несжимаемой жидкости на основе алгоритмов расщепления. «Вычислительные технологии», 2003, т.8 , спец. выпуск.

Ковеня В.М. Метод расщепления в задачах газовой динамики / Ковеня В.М., Яненко Н.Н. // Проблемы вязких течений. - Новосибирск, 1981. - С.104-116. - Библиогр.: с.116.