Шапеев В.П.

Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН

Эта книга посвящена одному из способов выделения и построения классов решений систем дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧ). Дифференциальные уравнения описывают многие законы природы, поведение технических устройств , физические, химические и экономические процессы. Для получения конкретных знаний и для практических нужд необходимо решать эти уравнения, чтобы иметь количественные характеристики описываемых ими явлений и объектов. Современная математика для многих ДУЧ дала алгоритмы построения приближенных численных решений. Применение этих алгоритмов на электронных вычислительных машинах (компьютерах) позволяет построить приближенные решения с приемлемой для практики точностью. Конкретные краевые условия в краевой задаче для ДУЧ выделяют конкретное решение системы, которое зачастую не дает знание о структуре и некоторых свойствах бесконечного множества всех решений ДУЧ. Но наряду с приближенными методами математиками открыты и аналитические способы выделения классов и отдельных решений. К таким методам в частности относятся групповой метод (ГМ) и метод дифференциальных связей (МДС).

В докладе на IV Всесоюзном математическом съезде (1964) Н.Н. Яненко сформулировал идею выделения частных решений из всего множества решений рассматриваемой (исходной) ДУЧ требованием того, чтобы они удовлетворяли дополнительным дифференциальным уравнениям – дифференциальным связям (ДС), которые не содержатся среди исходных. Такой подход он назвал МДС. Этот подход обобщает такие известные, как метод промежуточного интеграла, подходы построения функционально-инвариантных решений и бегущих волн. Известно, что не любая система дифференциальных уравнений имеет решения, так как одни уравнения могут противоречить другим, т.е. система может быть несовместной. Совокупную систему дифференциальных уравнений, состоящую из исходной ДУЧ и добавленных к ней ДС, в общем случае необходимо исследовать на совместность. Известны общие методы анализа на совместность систем ДУЧ: метод Картана и метод Жане-Спенсера-Кураниши (ЖСК). Если для заданной системы ДУЧ провести все аналитические вычисления, предписанные для анализа ее совместности этими методами, то через конечное число шагов алгоритма можно сделать заключение о ее совместности (или противоречивости). В общем случае это довольно-таки сложные алгоритмы и их применение даже к относительно небольшим ДУЧ сводится к громоздким аналитическим выкладкам.

В предыстории написания книги необходимо отметить еще несколько фактов. В 1956 г. Н.Н. Яненко построил класс решений -- простые волны уравнений газовой динамики в многомерном случае, обобщив простые волны, указанные Риманом в одномерном случае. Этот результат несколько в другом виде был получен А.А. Никольским и опубликован в закрытом издании (его открытая публикация была в 1957 г.). Погодин, В.А. Сучков и Н.Н. Яненко в 1958 г. опубликовали переопределенную ДУЧ, решением которой являются двойные волны уравнений газовой динамики. Затем А.Ф. Сидоров выписал систему ДУЧ, определяющую тройные волны уравнений газовой динамики, и привел частный пример тройных волн. Позже В.П. Шапеев методом Картана доказал совместность системы ДУЧ двойных волн и подсчитал произвол ее решения, а С.В. Мелешко провел полный анализ совместности систем ДУЧ тройных и всех кратных волн уравнений газовой динамики. Шапеев В.П. дал описание методов Картана и ЖСК в виде формальных алгоритмов, которое позволило их реализовать на ЭВМ. Программа на ЭВМ смогла провести полный анализ совместности системы уравнений Навье-Стокса и строго установить произвол ее решения (при этом ЭВМ провела достаточно ёмкие аналитические выкладки, которые могут вызвать затруднения даже у квалифицированного математика). Все кратные волны уравнений газовой динамики выделяются тем, что на них выполняются функциональные соотношения между зависимыми переменными типа инвариантов Римана, которые являются конечными соотношениями, а не дифференциальными. Содержательные решения, которые удовлетворяют ДС, не являющимися конечными соотношениями между переменными, имеют неоднородные ДУЧ. Эти решения обладают свойствами, аналогичными свойствам кратных волн, и являются их обобщениями в случае неоднородных ДУЧ.

Перечисленные результаты и некоторые другие, относящиеся к МДС, изложены математическим языком в монографии А.Ф. Сидорова, В.П. Шапеева, Н.Н. Яненко «Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике». Существенную помощь авторам при работе над этой книгой оказал её редактор – С.В. Мелешко.

А.Ф. Сидоров применил теорию кратных волн уравнений газовой динамики для описания течений с ударными волнами, вызванными движением угловых поршней. В продолжение исследований, начало которых изложено в книге, он пришел к решению важной фундаментальной проблемы сверхсжатия массы газа.

Метод дифференциальных связей развивался одновременно с групповым методом. Можно отметить, что на момент открытия решений, характеризующихся ДС, не все из них можно было построить групповым методом. Чтобы расширить возможности группового метода в этом направлении, Л.В. Овсянников ввел в него дифференциальные инварианты. Соотношения между ними и переменными уравнений, которые выписываются при групповом анализе, по существу являются ДС.

Н.Н. Яненко не увидел выхода монографии. Его не стало в год её издания. Исследование одного из классов решений уравнений газовой динамики, начало которого было изложено в книге, получило продолжение в первой части статьи S.V. Meleshko, V.P. Shapeev (Journal of Nonlinear Mathematical Physics, Vol. 18, Suppl. 1 (2011) 195-212), посвященной 90-летию Н.Н. Яненко.