[Список Лекций] [Как развивались научные направления] [Вклад Н.Н. Яненко в развитие методов и технологий построения адаптивных разностных сеток] [<<] [<] [^] [>] [>>]

Как развивались научные направления

Вклад Н.Н. Яненко в развитие методов и технологий построения адаптивных разностных сеток

Лисейкин В.Д.
Институт вычислительных технологий
Популярные численные алгоритмы решения прикладных задач: конечно-разностные схемы, конечные элементы и объемы, спектральные элементы и т.д., включают естественное звено – построение разностных сеток: разбиение пространственной области (поверхности, кривой), в которой исследуются какие-либо процессы, на множество маленьких стандартных ячеек (криволинейных треугольников, четырехугольников, тетраэдров, призм, параллелепипедов, и т.д.). При этом для сложных трехмерных прикладных задач требуемое число ячеек исчисляется миллиардами. Ячейки сетки и их узлы являются основой, на которой происходит замена дифференциальных уравнений, описывающих исследуемые процессы, на систему алгебраических уравнений, которые могут быть решены с помощью компьютеров. Эти решения дают приближенные значения необходимых характеристик изучаемых явлений.

В самом начале развития вычислительных методов и их внедрения в решения прикладных задач наиболее важная роль отводилась построению разностных схем, т.к. объектами применения были простые области, на которых разностная сетка могла быть получена в явном виде, обычно это равномерная сетка с прямоугольными ячейками. Сейчас же ситуация совершенно другая: области сложные, трехмерные, со сложной конфигурацией зон особенностей физических величин, и поэтому наибольшие проблемы возникают на этапе построения разностных сеток. При этом отладка современных компьютерных программ построения сеток может занимать несколько недель, а время расчета самой сетки сравнимо со временем расчета задачи. Поэтому наряду со схемой не менее важным элементом численных алгоритмов в настоящее время является технология построения адаптивных сеток, с помощью которой можно более успешно решать прикладные задачи со сложной геометрией границ физических объектов, в частности, заданных дискретно, и сложной конфигурацией зон особенностей (пограничные и внутренние слои, ударные и детонационные волны, фронты горения, высокоскоростные струи, зоны фазовых переходов). Для таких задач адаптивные сетки могут существенно (на порядки) увеличивать эффективность компьютерных ресурсов.

Современные исследования в области вычислительной и прикладной математики направлены на создание более совершенных прорывных технологий и автоматизированных компьютерных программ построения адаптивных структурных и неструктурных разностных сеток в трехмерных областях, а также на модернизацию численных алгоритмов решения прикладных задач с распараллеливанием на таких сетках. Естественные требования, накладываемые на разностные сетки, такие как малая деформация ячеек, отсутствие перехлеста, согласованность с границами областей и с особенностями искомых физических величин, а также с распределением электромагнитных полей в задачах физики плазмы, делают процесс создания методов и автоматизированных программ построения сеток сложной математической проблемой.

Исследования по этой проблеме являются наиболее приоритетными и востребованными в современной вычислительной физике, химии, биологии и прикладной математике, т.к. создание эффективных автоматизированных технологий и компьютерных программ построения разностных сеток позволит осуществить значительный прорыв в изучении физических, химических и биологических явлений с неоднородной разномасштабной структурой в областях со сложной геометрией, в частности, для исследования динамических процессов, происходящих в наноструктурах и геофизических системах, для изучения свойств высокотемпературной плазмы в камере токамака, для проведения быстрых численных экспериментов по выявлению перспективных конфигураций воздушных и аэрокосмических аппаратов, для расчета влияния детонационных волн на людей и предметы в замкнутом пространстве (салон самолета или автомобиля), для исследования биологических и химических процессов в органах человека (сердце, почки, сосудистая система).

Одним из выдающихся основоположников развития методов построения адаптивных разностных сеток и их внедрения в численные решения прикладных задач был Н.Н. Яненко. Непосредственно под его руководством и с его участием в конце 80-х годов был впервые разработан вариационный метод, базирующийся на оптимизации таких свойств разностных сеток, как регулярность, адаптация к большим градиентам решений и близость к лагранжевым координатным сеткам. В дальнейшем им и его учениками были сформулированы и разработаны эллиптические методы, базирующиеся на численном решении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии. Эти методы были опубликованы в восьми монографиях, две из которых в издательстве Springer:

  • Liseikin V.D. "Grid Generation Methods", Berlin: Springer, 2010 (Издание второе, переработанное и дополненное);

  • Liseikin V.D."A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation", Berlin: Springer, 2007 (Издание второе, переработанное и дополненное).

В настоящее время эти методы успешно внедряются в компьютерные программы для численных расчетов пространственных задач: плазмы (рис. 1, 2), газовой динамики (рис. 3, 4, 5), исследования внутренних органов человека (рис. 6, 7), распространение тепла в двухфазных средах (рис. 8, 9), формирование нанопор в пленках оксида алюминия (рис. 10), диффузии с пограничными и внутренними слоями (рис. 11, 12), которые характеризуются сложными границами и сложными особенностями физических величин.
Также в настоящее время начинает реализовываться задача, поставленная еще Н.Н. Яненко, о внедрении этих и других популярных методов построения адаптивных сеток в вузовские курсы по вычислительной и прикладной математике с целью повышения стандарта в высшем образовании России, что позволит в будущем более эффективно проводить численные расчеты актуальных прикладных задач.
[<<] [<] [^] [>] [>>]