Уравнения в частных производных являются одними из самых распространенных и эффективных средств описания сложных физических процессов. Каждому индивидуальному решению системы дифференциальных уравнений соответствует конкретное физическое состояние или процесс. Общее решение, как правило, выражается через частные решения, методы нахождения которых поэтому представляют большой интерес. Кроме того, частные решения являются хорошими тестами для проверки вычислительных алгоритмов. Одним из общих методов выделения частных решений систем дифференциальных уравнений является метод дифференциальных связей, идея которого была высказана Н.Н. Яненко на IV Всесоюзном математическом съезде. Из предшествующих работ идейно близки к этому методу исследования Гурса. С помощью метода дифференциальных связей удалось решить ряд одномерных и многомерных задач механики сплошной среды. Здесь следует отметить, в первую очередь, результаты А.Ф. Сидорова, В.А. Сучкова, Ю.Я. Погодина, В.Е. Распопова, В.П. Шапеева, В.М. Фомина, С.В. Мелешко, А.Е. Жижина и их учеников. Основные результаты по применению метода обобщены в совместной монографии Николая Николаевича с А.Ф. Сидоровым и В.П. Шапеевым. В области дифференциальных уравнений Николаем Николаевичем опубликовано свыше 50 работ, в том числе четыре монографии.

Особо стоит остановиться на двух монографиях, написанных совместно с Б.Л. Рождественским, под названием «Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике», вышедших из печати в 1968 и 1978 гг. В этих книгах подытожены многолетние исследования советских и иностранных ученых в теории систем квазилинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа, приведены результаты изучения как классических (непрерывных), так и обобщенных (разрывных) решений дифференциальных уравнений, в том числе газовой динамики. Эти монографии признаны в мире среди специалистов в области прикладной математики и механики.

В 1965 г. Яненко высказал идею аппроксимации уравнений Навье-Стокса системой уравнений с малым параметром, описывающей движение слабо сжимаемой жидкости. Полученная система дифференциальных уравнений является уже эволюционной, и к ней можно применять хорошо зарекомендовавшие себя численные алгоритмы (год спустя Н.Н. Яненко и Б.Г. Кузнецов разработали и опубликовали один из экономичных алгоритмов, основанный на методе дробных шагов). Идея слабой сжимаемости оказалась весьма плодотворной и инициировала новое направление исследований как у нас в стране, так и за рубежом (в частности, во Франции в школе профессора Ж. Лионса). Среди учеников Н.Н. Яненко в этом направлении успешно работали Ю.Я. Белов, З.Г. Гегечкори, Г.В. Демидов, С.А. Кантор, Ш. Смагулов,В.А. Новиков и др.