Федотова З.И.

Институт Вычислительных технологий СО РАН

С развитием теории конечно-разностных методов решения задач механики сплошной среды неразрывно связано имя Николая Николаевича Яненко [1].

В 1963 году Н.Н. Яненко, уже известный ученый, доктор наук, переехал на работу в Новосибирский Академгородок и организовал в Вычислительном центре отдел, основной научной тематикой которого была разработка вычислительных методов механики сплошной среды. Отметим, что в это время мировое научное сообщество, под влиянием прогресса в развитии быстродействующих ЭВМ и впечатлительных результатов в аэродинамических расчетах, начинало соглашаться с тем, что метод математического моделирования становится одним из наиболее продуктивных способов решения теоретических и практических задач в естествознании и технике. Для успешного решения этой задачи требовалась передовая вычислительная техника, адекватное программное обеспечение и надежные высокоэффективные вычислительные алгоритмы.

Все это – и ситуация в мировой науке, и необыкновенные организаторские способности Николая Николаевича с его работоспособностью, талантом ученого и чутьем новых перспективных направлений, послужило стимулом к существенному скачку в развитии сеточных методов решения широкого спектра задач динамики сплошных сред. Важно, что изначально сотрудникам, аспирантам ставилась задача получения результатов, конкурентно способных в масштабах мировых научных исследований. Все это притягивало к Н.Н. Яненко молодежь, которая активно развивала его идеи и со временем рождала свои.

В 1959 году А.И. Жуков сопоставил разностной схеме, аппроксимирующей с первым порядком уравнение переноса, некоторое уравнение параболического вида, описывающее свойство диссипативности разностной схемы (см. [2], стр 386). Из вида этого уравнения сразу вытекала связь между его корректностью по Петровскому и устойчивостью разностной схемы.

Развивая это замечание, Н.Н. Яненко высказал идею исследования разностных схем путем изучения их аппроксимационной вязкости. В отличие от сложившихся к тому времени методов исследования, в основном имеющих дело с линейными уравнениями, новый метод, названный методом дифференциального приближения (МДП), позволял работать и с разностными схемами для нелинейных уравнений. Задача обоснования МДП была поставлена Шокину Ю.И., в то время аспиранту Н.Н. Яненко.

Стержневой момент МДП состоит в том, что конечно-разностной схеме сопоставляется специально построенное дифференциальное уравнение путем разложения в ряды Тейлора сеточных функций, составляющих разностную схему, по сеточным параметрам (шагам сетки), и удерживается конечное число членов этого разложения. Полученное уравнение названо Г-формой дифференциального приближения (ДП). Более содержательным объектом оказалась П-форма ДП. Она получалась исключением производных по эволюционной переменной, начиная со второго порядка, что можно сделать, используя предположение о том, что основные функции принадлежат множеству решений ДП. П-форма ДП выглядит как исходное аппроксимируемое дифференциальное уравнение плюс дополнительная группа членов, в которой и содержится информация о разностной схеме. Из этого вытекает, что ДП занимает промежуточное положение между разностной схемой и аппроксимируемым ею дифференциальным уравнением. Сказанное всего лишь набросок к определению.

Впервые строгое понятие дифференциального приближения произвольной разностной схемы, аппроксимирующей гиперболическую систему дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, было опубликовано в работах Н.Н. Яненко и Ю.И. Шокина в 1968 году [3, 4]. Начиная с этого времени МДП активно развивался в работах как российских, так и зарубежных ученых (там за этим методом закрепился термин «the method of modified equation»). Под руководством Н.Н. Яненко и Ю.И. Шокина сформировалась группа молодых ученых, что позволило проводить исследования широким фронтом: оказалось, что МДП позволяет вывести определенные заключения о таких свойствах разностных схем, как устойчивость, аппроксимация, точность, монотонность, консервативность, групповые свойства и др.

Систематическому изложению МДП посвящена монография [5] (выпущена за рубежом [6]). В ней содержится обоснование МДП и результаты, состоящие в установлении связи между свойствами разностной схемы и ее дифференциальных приближений. В монографию были включены как результаты Н.Н. Яненко и Ю.И. Шокина, так и их учеников. Наиболее интересные результаты были получены Урусовым А.И., Федотовой З.И., Тушевой (Компаниец) Л.А., Талышевым А.А.. Спустя шесть лет монография была переиздана [7]. От предыдущей книги она отличалась как более современным изложением обоснования МДП, так и расширением круга задач, новым иллюстративным материалом.

Накопившееся ввиду бурного развития вычислительных методов многообразие конечно-разностных методов потребовало их сравнительного анализа и классификации по ряду признаков. Выполненная Н.Н. Яненко, Ю.И. Шокиным, З.И. Федотовой, Л.А. Компаниец классификация разностных схем газовой динамики на основе МДП оказалась весьма плодотворной и явилась основой для концепции автоматизированной системы анализа разностных схем [7].

В настоящее время метод дифференциальных приближений является рабочим инструментом исследования сеточных методов. Дискретные модели, особенно для нелинейных задач, очень сложны для непосредственного изучения. МДП позволяет выполнить качественный анализ методов, на основе которого возможна модификация метода в сторону улучшения свойств.

Метод дифференциальных приближений включен в курсы вычислительной математики ведущих университетов страны.

1. Шокин Ю.И., Федотова З.И. О достижениях в теории разностных схем // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4, № 5. С. 56–69.

2. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. Второе дополненное издание. М.: Наука, 1978.

3. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И. Об аппроксимационной вязкости разностных схем // Докл. АН СССР. 1968. Т. 182, № 2. С. 280–281.

4. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И. О корректности первых дифференциальных приближений разностных схем // Докл. АН СССР. 1968. Т. 182, № 4. С. 776–778.

5. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука, 1979.

6. Shokin Y. I. The Method of Differential Approximation. Berlin ets.: Springer-Verlag, 1983.

7. Шокин Ю.И.,Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985.